Calcular a área da região delimitada pelas curvas dadas y = 5...
Calcular a área da região delimitada pelas curvas dadas y = 5 - x² e y = x + 3, que se interceptam nos pontos de abscissas -2 e 1
1 Resposta
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4) • Achando a interseção entre as parábolas:
x = y² e x = 2y² – 4
x = 2x – 4
2x – x = 4
x = 4
4 = y²
y = ± 2
Os pontos de interseção são (– 2, 4) e (2, 4).
• Extremos de integração:
y varia em extremos fixos: – 2 ≤ y ≤ 2;
x varia entre duas funções de y: 2y² – 4 ≤ x ≤ y².
• A área é dada por
![A=displaystyleiint_D!1,dA\ =int_{-2}^2int_{2y^2-4}^{y^2}!1,dx,dy\ =int_{-2}^2 xig|_{2y^2-4}^{y^2},dy\ =int_{-2}^2 ig(y^2-(2y^2-4)ig),dy\ =int_{-2}^2 (-y^2+4),dy]()
Temos uma função par de![y]()
a ser integrada sobre um intervalo simétrico. Logo, a integral acima fica
![=displaystyle 2int_0^2 (-y^2+4),dy\ =2left(-frac{y^3}{3}+4y ight )igg|_0^2\ =2cdot left(-frac{2^3}{3}+4cdot 2 ight )\ =2cdot left(-frac{8}{3}+8 ight )\ =2cdot frac{16}{3}\ =oxed{egin{array}{c}dfrac{32}{3}mathrm{~u.a.}end{array}}~~~~checkmark]()
_________
5) • Achando a interseção entre as curvas
y = x³ e y = 8.
x³ = 8
x = 2
Ponto (2, 8).
• Extremos de integração:
0 ≤ x ≤ 2;
x³ ≤ y ≤ 8.
• Área:
![A=displaystyleiint_D!1,dA\ =int_0^2int_{x^3}^8 1,dy,dx\ =int_0^2 yig|_{x^3}^8,dx\ =int_0^2 (8-x^3),dx\ =left(8x-frac{x^4}{4} ight )igg|_0^2\ =8cdot 2-frac{2^4}{4}\ =16-4\ =oxed{egin{array}{c}12mathrm{~u.a.}end{array}}~~~~checkmark]()
_________
6) • Achando a interseção entre as curvas
y = x³ e y = 2x
x³ = 2x
x³ – 2x = 0
x(x² – 2) = 0
x = 0 ou x² – 2 = 0
x = 0 ou x² = 2
x = 0 ou x = ± √2
Pontos (0, 0), (√2, 2√2) e (– √2, – 2√2).
_____
• Achando a interseção entre as curvas
y = x³ e y = x
x³ = x
x³ – x = 0
x(x² – 1) = 0
x = 0 ou x² – 1 = 0
x = 0 ou x² = 1
x = 0 ou x = ± 1
Pontos (0, 0), (1, 1) e (– 1, – 1).
_____
Verifica-se facilmente que há uma simetria na região que desejamos calcular a área. Então, vamos tomar a área como sendo
![A=2displaystyleiint_D 1,dA]()
sendo![D]()
a porção do 1º quadrante da região em questão.
• A região![D]()
pode ser decomposta em duas regiões:
Um triângulo![D_1:]()
0 ≤ x ≤ 1;
x ≤ y ≤ 2x.
Um pseudo triângulo![D_2:]()
1 ≤ x ≤ √2;
x³ ≤ y ≤ 2x.
_____
• Área:
![A=2displaystyleiint_D 1,dA\ =2cdot left(iint_{D_1} 1,dA+iint_{D_2} 1,dA ight)\ =2iint_{D_1} 1,dA+2iint_{D_2} 1,dA\ =2int_0^1int_x^{2x}1,dy,dx+2int_1^{sqrt{2}}int_{x^3}^{2x}1,dy,dx \ =2int_0^1 yig|_x^{2x},dx+2int_1^{sqrt{2}} yig|_{x^3}^{2x},dx \ =2int_0^1 (2x-x),dx+2int_1^{sqrt{2}} (2x-x^3),dx]()
![=displaystyle 2int_0^1 x,dx+2int_1^{sqrt{2}} (2x-x^3),dx\ =int_0^1 2x,dx+int_1^{sqrt{2}} (4x-2x^3),dx\ =x^2ig|_0^1+left(2x^2-frac{x^4}{2} ight )igg|_1^{sqrt{2}}\ =1^2+left(2cdot (sqrt{2})^2-frac{(sqrt{2})^4}{2} ight )-left(2cdot 1^2-frac{1^4}{2} ight )\ =1+left(2cdot 2-frac{4}{2} ight )-left(2cdot 1-frac{1}{2} ight )\ =1+(4-2)-left(2-frac{1}{2} ight )\ =1+2-2+frac{1}{2}\=oxed{egin{array}{c}dfrac{3}{2}mathrm{~u.a.}end{array}}~~~~checkmark]()
_________
7) • Achando a interseção entre as curvas
y = 1/x e y = 2x
1/x = 2x
2x² = 1
x² = 1/2
x = ± 1/√2
Pontos (1/√2, √2) e (– 1/√2, – √2).
_____
• Achando a interseção entre as curvas
y = 1/x e y = x
1/x = x
x² = 1
x = ± 1
Pontos (1, 1) e (– 1, – 1).
_____
Aqui também há simetria na região que desejamos calcular a área. Então, vamos tomar a área como sendo
![A=2displaystyleiint_D 1,dA]()
sendo![D]()
a porção do 1º quadrante da área que desejamos calcular.
• A região![D]()
pode ser decomposta em duas regiões:
Um triângulo![D_1:]()
0 ≤ x ≤ 1/√2
x ≤ y ≤ 2x
Um pseudo triângulo![D_2:]()
1/√2 ≤ x ≤ 1
x ≤ y ≤ 1/x
_____
• Área:
![A=2displaystyle left(iint_{D_1} 1,dA+iint_{D_2} 1,dA ight )\ =2iint_{D_1} 1,dA+2iint_{D_2} 1,dA\ =2int_0^{1/sqrt{2}}int_x^{2x} 1,dy,dx+2int_{1/sqrt{2}}^1int_x^{1/x} 1,dy,dx\ =2int_0^{1/sqrt{2}} yig|_x^{2x} dx+2int_{1/sqrt{2}}^1 ,yig|_x^{1/x} ,dx\ =2int_0^{1/sqrt{2}} (2x-x),dx+2int_{1/sqrt{2}}^1 left(frac{1}{x}-xight)dx]()
![=displaystyle int_0^{1/sqrt{2}} 2x,dx+int_{1/sqrt{2}}^1 left(frac{2}{x}-2xight)dx\ =x^2ig|_0^{1/sqrt{2}}+(2ln x-x^2)ig|_{1/sqrt{2}}^1\ =left(frac{1}{sqrt{2}}ight)^{!!2}+(2ln 1-1^2)-left(2ln frac{1}{sqrt{2}}-Big(frac{1}{sqrt{2}}Big)^{!2}ight )\ =frac{1}{2}-1-2ln frac{1}{sqrt{2}}+frac{1}{2}\ =-2ln frac{1}{sqrt{2}}\ =-2ln(2^{-1/2})\ =-2cdot left(-frac{1}{2} ight )ln 2\ =oxed{egin{array}{c}ln 2mathrm{~u.a.}end{array}}~~~~checkmark]()
Dúvidas? Comente.
Bons estudos! :-)
x = y² e x = 2y² – 4
x = 2x – 4
2x – x = 4
x = 4
4 = y²
y = ± 2
Os pontos de interseção são (– 2, 4) e (2, 4).
• Extremos de integração:
y varia em extremos fixos: – 2 ≤ y ≤ 2;
x varia entre duas funções de y: 2y² – 4 ≤ x ≤ y².
• A área é dada por
Temos uma função par de
a ser integrada sobre um intervalo simétrico. Logo, a integral acima fica
_________
5) • Achando a interseção entre as curvas
y = x³ e y = 8.
x³ = 8
x = 2
Ponto (2, 8).
• Extremos de integração:
0 ≤ x ≤ 2;
x³ ≤ y ≤ 8.
• Área:
_________
6) • Achando a interseção entre as curvas
y = x³ e y = 2x
x³ = 2x
x³ – 2x = 0
x(x² – 2) = 0
x = 0 ou x² – 2 = 0
x = 0 ou x² = 2
x = 0 ou x = ± √2
Pontos (0, 0), (√2, 2√2) e (– √2, – 2√2).
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• Achando a interseção entre as curvas
y = x³ e y = x
x³ = x
x³ – x = 0
x(x² – 1) = 0
x = 0 ou x² – 1 = 0
x = 0 ou x² = 1
x = 0 ou x = ± 1
Pontos (0, 0), (1, 1) e (– 1, – 1).
_____
Verifica-se facilmente que há uma simetria na região que desejamos calcular a área. Então, vamos tomar a área como sendo
sendo
a porção do 1º quadrante da região em questão.• A região
pode ser decomposta em duas regiões:Um triângulo
0 ≤ x ≤ 1;
x ≤ y ≤ 2x.
Um pseudo triângulo
1 ≤ x ≤ √2;
x³ ≤ y ≤ 2x.
_____
• Área:
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7) • Achando a interseção entre as curvas
y = 1/x e y = 2x
1/x = 2x
2x² = 1
x² = 1/2
x = ± 1/√2
Pontos (1/√2, √2) e (– 1/√2, – √2).
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• Achando a interseção entre as curvas
y = 1/x e y = x
1/x = x
x² = 1
x = ± 1
Pontos (1, 1) e (– 1, – 1).
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Aqui também há simetria na região que desejamos calcular a área. Então, vamos tomar a área como sendo
sendo
a porção do 1º quadrante da área que desejamos calcular.• A região
pode ser decomposta em duas regiões:Um triângulo
0 ≤ x ≤ 1/√2
x ≤ y ≤ 2x
Um pseudo triângulo
1/√2 ≤ x ≤ 1
x ≤ y ≤ 1/x
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• Área:
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