As circunferências x² + y² + 4x + 2y - 20 = 0 e x² + y² - 8x -...

Question

As circunferências x² + y² + 4x + 2y - 20 = 0 e x² + y² - 8x -...

As circunferências x² + y² + 4x + 2y - 20 = 0 e x² + y² - 8x - 6y - 11 = 0 são:

(A) secantes.
(B) tangentes internas.
(C) tangentes externas.
(D) externas.
(E) concêntricas.

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Agalloarrondo · Answer 1 · 2022-12-29T17:49:52-03:00

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que as referidas circunferências são:

Largedisplaystyle ext{$egin{gathered}oxed{oxed{:::f Secantes:::}}end{gathered}$}

Portanto, a opção correta é:

Largedisplaystyle ext{$egin{gathered}oxed{oxed{:::f Alternativa: A:::}}end{gathered}$}

Sejam as equações das circunferências:

$Largeegin{cases} lambda: x^{2} + y^{2} + 4x + 2y - 20 = 0\gamma: x^{2} + y^{2} - 8x - 6y - 11 = 0end{cases}$

Para resolver esta questão devemos encontrar os centros e os raios de ambas circunferências e depois, comparar a distância entre seus centros. Então, temos:

Calcular o centro da circunferência "λ":

$Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} X_{lambda} = -frac{D}{2A} = -frac{4}{2cdot1} = -2end{gathered}$}$

$Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} Y_{lambda} = -frac{E}{2A} = -frac{2}{2cdot1} = -1end{gathered}$}$

$Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} herefore:::C_{lambda} (-2, , -1)end{gathered}$}$

Calcular o raio da circunferência "λ":

$Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} r_{lambda} = sqrt{frac{D^{2} + E^{2} - 4AF}{4A^{2}}}end{gathered}$}$

$Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} = sqrt{frac{4^{2} + 2^{2} - 4cdot1cdot(-20)}{4cdot1^{2}}}end{gathered}$}$

$Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} = sqrt{frac{16 + 4 + 80}{4}}end{gathered}$}$

Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} = 5end{gathered}$}

$Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} herefore:::r_{lambda} = 5:ucdot cend{gathered}$}$

Calcular o centro da circunferência "γ":

$Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} X_{gamma} = -frac{D}{2A} = -frac{(-8)}{2cdot1} = 4end{gathered}$}$

$Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} Y_{gamma} = -frac{E}{2A} = -frac{(-6)}{2cdot1} = 3end{gathered}$}$

$Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} herefore:::C_{gamma} (4, , 3)end{gathered}$}$

Calcular o raio da circunferência "γ":

$Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} r_{gamma} = sqrt{frac{D^{2} + E^{2} - 4AF}{4A^{2}}}end{gathered}$}$

$Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} = sqrt{frac{(-8)^{2} + (-6)^{2} - 4cdot1cdot(-11)}{4cdot1^{2}}}end{gathered}$}$

$Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} = sqrt{frac{64 + 36 + 44}{4}}end{gathered}$}$

Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} = 6end{gathered}$}

$Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} herefore:::r_{gamma} = 6:ucdot cend{gathered}$}$

Calcular a distância entre os centros:

$Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} d_{C_{lambda}C_{gamma}} = sqrt{(X_{gamma} - X_{lambda})^{2} + (Y_{gamma} - Y_{lambda})^{2}}end{gathered}$}$

$Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} = sqrt{(4 - (-2))^{2} + (3 - (-1))^{2}}end{gathered}$}$

$Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} = sqrt{(4 + 2)^{2} + (3 + 1)^{2}}end{gathered}$}$

$Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} = sqrt{6^{2} + 4^{2}}end{gathered}$}$

Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} = sqrt{36 + 16}end{gathered}$}

Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} = sqrt{52}end{gathered}$}

Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} = 2sqrt{13}end{gathered}$}

$Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} herefore:::d_{C_{lambda}C_{gamma}} = 2sqrt{13}cong7,211end{gathered}$}$

Calcular a soma dos raios:

$Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} r_{lambda} + r_{gamma} = 5 + 6 = 11:ucdot cend{gathered}$}$

Calcular o módulo da diferênça dos raios:

$Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} |r_{lambda} - r_{gamma}| = |5 - 6| = |-1| = 1:ucdot c end{gathered}$}$

Sendo:

$Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} |r_{lambda} - r_{gamma}| < d_{C_{lambda}C_{gamma}} < r_{lambda} + r_{gamma}end{gathered}$}$

$Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} 1 < d_{C_{lambda}C_{gamma}} < 11 end{gathered}$}$

✅ Então as circunferências são:

Largedisplaystyle ext{$egin{gathered} extrm{Secantes}end{gathered}$}

Saiba mais:

Veja a solução gráfica representada na figura:

As circunferências x² + y² + 4x + 2y - 20 = 0 e x² + y² - 8x -...

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