Areta definida pelos pontos a e b é a reta que passa por a (ou...

Vamos ver uma resumida de Geometria Analítica na parte de retas.

Uma reta é um ente geométrico que pode ser definido como todos os pontos P tais que, para um vetor diretor e um ponto P₀ que pertença a reta:

Onde t é um escalar real.

Podemos escrever a mesma definição, mas com o uso de vetores, ou seja, dado um Ponto P = (x, y, z) e P₀ = (x₀, y₀, z₀) e um vetor

Esse vetor que chamamos de diretor, nada mais é que um vetor que mostra para que sentido a reta cresce e ele pode ser obtido a partir de qualquer valor de P = (x₁, y₁, z₁) pois:

Para algum t₁ nos reais, exceto zero, portanto:

Portanto, o vetor diretor deve ser paralelo ao vetor (x₁-x₀, y₁-y₀, z₁-z₀), para quaisquer pontos

Depois desse breve resumo sobre retas no , vamos calcular a reta a qual passa pelos pontos

Portanto, podemos encontrar o vetor diretor, que será

Tome t₁ = -1:

Portanto, pela imagem vemos que a afirmativa III está correta.

Calcularemos agora a equação paramétrica de r, que não é nada mais que o que fizemos no resumo. Temos algum ponto em r e o vetor diretor, o que nos permite montar a equação de r de acordo com:

Tomando P₀ = A (neste momento a escolha de pegar A ou B não importa para a equação, pois pegando qualquer um dos dois obteremos a mesma reta, porém, com pontos iniciais em lugares distintos, escolhi A nesse caso pois vemos pelo enunciado que os valores de A aparecem nas equações.):

O que, somando os vetores, obteremos:

Que é a afirmativa IV.

Assim, as afirmativas corretas são III e IV, o que nos resulta na Alternativa 5 como correta.