A variável aleatória discreta Xassume apenas os valores 0, 1,...

Question

A variável aleatória discreta Xassume apenas os valores 0, 1,...

A variável aleatória discretaX
assume apenas os valores 0, 1, 2, 3, 4 e 5. A função densidade de probabilidade de
X
é dada por:
P(X = 0) = P (X = 1) = P(X = 2) = P(X = 3) = a
P(X = 4) = P(X = 5) = b

P(X
≥
2) = 3P(X
<
2)

A variância de
X
é igual a :

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resposta: Var(X)=3

Dados:

Omega={0;;;1;;;2;;;3;;;4;;;5}

P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=a

P(X=4)=P(X=5)=b

P(Xgeq2)=3P(X

Resolução:

P(Xgeq2)=3P(X

Leftrightarrow P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=3[P(X=0)+P(X=1)]Leftrightarrow

Leftrightarrow a+a+b+b=3(a+a)Leftrightarrow

Leftrightarrow 2a+2b=3 imes 2aLeftrightarrow

Leftrightarrow 2b=6a-2aLeftrightarrow

Leftrightarrow 2b=4aLeftrightarrow

Leftrightarrow b=2a

Como a soma de todas as probabilidades é sempre igual a 1, temos que:

P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=1Leftrightarrow

Leftrightarrow a+a+a+a+b+b=1Leftrightarrow

Leftrightarrow 4a+2b=1Leftrightarrow

Leftrightarrow 4a+2 imes 2a=1Leftrightarrow

Leftrightarrow 4a+4a=1Leftrightarrow

Leftrightarrow 8a=1Leftrightarrow

$Leftrightarrow a=dfrac{1}{8}$

Temos ainda que:

b=2aLeftrightarrow

$Leftrightarrow b=2 imesdfrac{1}{8}Leftrightarrow$

$Leftrightarrow b=dfrac{1}{4}$

A Variância Amostral pode ser calculada através da seguinte expressão:

Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2

Lembremos ainda que:

$E(X)=displaystylesum^n_{i=1}x_iP(X=x_i)$

E que:

$E(X^2)=displaystylesum^n_{i=1}x_i^2P(X=x_i)$

Aplicando as fórmula a este exercício, temos que:

$E(X)=displaystylesum^6_{i=1}x_iP(X=x_i)Leftrightarrow$

Leftrightarrow E(X)=0 imes P(X=0)+1 imes P(X=1)+...+5 imes P(X=5)Leftrightarrow

$Leftrightarrow E(X)=0 imesdfrac{1}{8}+1 imesdfrac{1}{8}+2 imesdfrac{1}{8}+3 imesdfrac{1}{8}+4 imesdfrac{1}{4}+5 imesdfrac{1}{4}Leftrightarrow$

$Leftrightarrow E(X)=0+dfrac{1}{8}+dfrac{2}{8}+dfrac{3}{8}+dfrac{4}{4}+dfrac{5}{4}Leftrightarrow$

$Leftrightarrow E(X)=dfrac{1}{8}+dfrac{2}{8}+dfrac{3}{8}+dfrac{8}{8}+dfrac{10}{8}Leftrightarrow$

$Leftrightarrow E(X)=dfrac{24}{8}Leftrightarrow$

Leftrightarrow E(X)=3

$E(X^2)=displaystylesum^6_{i=1}x_i^2P(X=x_i)Leftrightarrow$

Leftrightarrow E(X^2)=0^2 imes P(X=0)+1^2 imes P(X=1)+...+5^2 imes P(X=5)Leftrightarrow

$Leftrightarrow E(X^2)=0 imesdfrac{1}{8}+1 imesdfrac{1}{8}+4 imesdfrac{1}{8}+9 imesdfrac{1}{8}+16 imesdfrac{1}{4}+25 imesdfrac{1}{4}Leftrightarrow$

$Leftrightarrow E(X^2)=0+dfrac{1}{8}+dfrac{4}{8}+dfrac{9}{8}+dfrac{16}{4}+dfrac{25}{4}Leftrightarrow$

$Leftrightarrow E(X^2)=dfrac{1}{8}+dfrac{4}{8}+dfrac{9}{8}+dfrac{32}{8}+dfrac{50}{8}Leftrightarrow$

$Leftrightarrow E(X^2)=dfrac{96}{8}Leftrightarrow$

Leftrightarrow E(X^2)=12

Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2Leftrightarrow

Leftrightarrow Var(X)=12-3^2Leftrightarrow

Leftrightarrow Var(X)=12-9Leftrightarrow

Leftrightarrow Var(X)=3

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