A distância entre dois pontos A e B é 5 sabendo que a( 3K, 1)...

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A distância entre dois pontos A e B é 5 sabendo que a( 3K, 1)...

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Elisângela Encarnação

há 1 ano - Matérias - Matemática

A distância entre dois pontos A e B é 5 sabendo que a( 3K, 1) e B (2,4) determine a abscissa do ponto a

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Ryaann Lilian · Answer 1 · 2023-06-23T07:21:35-03:00

Olá, boa tarde ◉‿◉.

Temos que a distância entre dois pontos é calculada através da fórmula:

$oxed{d_{(A,B)} = sqrt{(x_b - x_a) {}^{2} + (y _b - y_a) {}^{2} } }$

Onde xa, ya, xb e yb são os valores das abscissas e ordenadas dos dois pontos que a questão fornece.

Sabendo disso, vamos identificá-los:

$egin{cases}A( 3K, 1) ightarrow xa = 3k : : : ya = 1 \ B (2,4) ightarrow xb = 2 : : : : yb = 4 end{cases}$

Agora vamos substituir os dados nos seus respectivos locais na fórmula.

$d_{(A,B)}= sqrt{(2 - 3k) {}^{2} + (4- 1) {}^{2} } \ d_{(A,B)} = sqrt{(2 - 3k) {}^{2} + (3) {}^{2} } \ d_{(A,B)} = sqrt{(2 - 3k) {}^{2} + 9}$

Vamos resolver aquele produto notável:

$oxed{egin{cases}(2 - 3k) {}^{2} ightarrow (2 - 3k).(2 - 3k) \ 2.2 - 3k.2 - 3k.2 + 3k.3k \ 4 - 6k - 6k + 9k {}^{2} \ igstar9k {}^{2} - 1 2k + 4 igstar end{cases}}$

Agora vamos substituir esses dados na fórmula:

$d_{(A,B)} = sqrt{(9k {}^{2} - 12k + 4 + 9)} \ d_{(A,B)} = sqrt{9k {}^{2} - 12k + 13}$

A questão fala que a distância entre esses dois pontos é igual a 5, então no local de "d" vamos colocar o número "5".

$5 = sqrt{9k {}^{2} - 12k + 13 }$

Note que temos uma equação irracional, onde devemos elevar ambos os membros ao quadrado para que a raiz possa ser cancelada.

$(5) {}^{2} =( sqrt[ cancel2]{9k {}^{2} - 12k + 13 } ) {}^{ cancel2} \ 25 = 9k {}^{2} - 12k + 13 \ 9k {}^{2} - 12k + 13 - 25 = 0 \ oxed{ 9k {}^{2} - 12k - 12 = 0}$

Podemos resolver através de Delta e Bháskara

I) Coeficientes:

$egin{cases}a = 9 \ b = - 12 \ c = - 12end{cases}$

II) Bháskara:

$oxed{k = frac{ - b pm sqrt{b {}^{2} - 4.a.c} }{2.a}} \ \ k = frac{ - ( - 12 pm sqrt{( - 12) {}^{2} - 4.9.( - 12)} }{2.9} \ \ k = frac{12 pm sqrt{144 + 432} }{18} \ \ k = frac{12 pm sqrt{576} }{18} \ \ k= frac{12 pm24}{18} \ \ k_1 = frac{ 12 + 24}{18} \ k_1 = frac{36}{18} \ oxed{k_1 = 2} \ \ k_2 = frac{12 - 24}{18} \ k_2 = frac{ - 12}{18} \ oxed{k_2 = - frac{2}{3} }$

Esses são os possível valores de "k", o que quer dizer que o ponto A pode ser dessas duas formas:

$Large egin{cases}A(3.2,1) \ A(6,1)leftarrow : resposta :1 \ ou \ A(3.(-frac{2}{3}),1 \A(-2,1) leftarrow :resposta : 2end{cases}$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️

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