A 119. Historia da Matemática e demonstraçõesDiofanto de Alex...

A119. Historia da Matemática e demonstrações
Diofanto de Alexandria (c. 221-305) é considerado o maior algebrista da Grécia antiga. Apesar de desconhecer os números ne
gativos, ele chegou a realizar uma demonstração geométrica que, de certo modo, pode ser considerada como precursora da
regra de sinais que afirma que o produto entre dois números negativos
é igual a um número positivo, ou seja, (-) X (-) = +.
Acompanhe a seguir essa demonstração, destacada pelo escritor
Gilberto Garbi, no livro O romance das equações algébricas (3. ed., São
Paulo, Livraria da Física, 2009, p. 66), para mostrar que (-6).(-d) =
= +bd.
Considere a figura ao lado, em que os valores a, b, ce d são represen-
tados por segmentos de reta.
A
Nessa figura, temos as seguintes áreas: A, = (a - b)(c - d)
A₂ = 6(c- d)
Az = dla - b)
A
A
с
b
A. = bd
Observe que a área da região retangular maior é a soma das áreas das quatro regiões retangulares que estão contidas nela,
ou seja:
A, + A + A + A = ac
Desenvolvendo, temos o seguinte:
(a - b)(c- d) + b(c- d) + d(a - b) + bd = ac
(a - b)(c - d) + bc - bd + ad - bd+ bd = ac
(a - b)(c- d) + bc-bd + ad = ac
(a - b)(c-d) = ac - ad-bc + bd
Isso mostra que, ao desenvolvermos (a - b)(c-d), o produto (-b)(-d) é igual a +bd, como se queria demonstrar.
a) Vamos aproveitar a demonstração acima para trabalhar com fatoração de expressões algébricas. Mostre que, na figura
acima, ac - (Ą, + A, + A2) = A.​