8) Numa coleta feita entre alunos de uma escola, foram arrecad...

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8) Numa coleta feita entre alunos de uma escola, foram arrecad...

8) Numa coleta feita entre alunos de uma escola, foram arrecadados R$ 372,00 . O primeiro aluno doou R$ 20,00, o segundo R$ 22,00 , o terceiro R$ 24,00, e assim por diante. Pergunta-se: a) Quantos alunos fizeram a doação ? b) quanto que doou o oitavo aluno

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Tay · Answer 1 · 2021-12-01T11:50:24-03:00

a) 12 alunos

b) R$ 34,00

Explicação passo-a-passo:

Analisando os valores doados informados, podemos concluir que se trata de uma Progressão Aritmética, pois os valores aumentam de R$ 2,00 em R$ 2,00:

24 - 22 = 2

22 - 20 = 2

Assim, a razão desta PA vale 2.

O termo geral de uma PA é dado pela fórmula:

$a_{n} = a_{1} + (n - 1).r$

Onde:

$a_{n}$ = enésimo termo da PA

$a_{1}$ = primeiro termo da PA

= número de termos da PA

= razão da PA

A soma dos termos de uma PA é calculada por:

$S_{n} = frac{(a_{1} + a_{n}).n}{2}$

Onde:

$S_{n}$ = soma dos termos de uma PA

$a_{1}$ = primeiro termo da PA

$a_{n}$ = enésimo termo da PA

= número de termos da PA

Resolução

A questão nos fornece:

$S_{n}$ = 372

$a_{1}$ = 20

= 2

a) Para calcular quantos alunos fizeram a doação, precisamos calcular o número de termos da PA ():

$a_{n} = a_{1} + (n - 1).r\a_{n} = 20 + (n - 1).2\a_{n} = 20 + 2n - 2\a_{n} = 2n + 18$

$S_{n} = frac{(a_{1} + a_{n}).n}{2}\372 = frac{(20 + a_{n}).n}{2}\$

Vamos substituir $a_{n} = 2n + 18$ na equação da soma dos termos:

$372 = frac{(20 + 2n+18).n}{2}\372 = frac{(2n + 38).n}{2}\372 = frac{2n^{2} + 38n}{2}\372 = frac{2n^{2}}{2} + frac{38n}{2}\372 = n^{2} + 19n\n^{2} + 19n = 372\n^{2} + 19n - 372 = 0$

Sendo uma equação do 2° grau, resolveremos através da fórmula de Baskara:

$n = frac{-b+-sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ , onde:

a = 1 = 19c = -372

Assim:

$n = frac{-19+-sqrt{19^{2} - 4.1.(-372)}}{2.1}\n = frac{-19+-sqrt{361 + 1488}}{2}\n = frac{-19+-sqrt{1849}}{2}\n = frac{-19+-43}{2}\ _{1} = frac{-19+43}{2}\n_{1} = frac{24}{2}\n_{1} = 12\ _{2} = frac{-19-43}{2}\n_{2} = frac{-62}{2}\n_{2} = -31$

Como se trata de quantidade, não pode ser um número negativo. Portanto, vamos considerar o valor positivo de . Logo, 12 alunos fizeram a doação.

b) esta alternativa pede $a_{8}$ :

$a_{n} = a_{1} + (n -1).r\a_{8} = 20 + (8 -1).2\a_{8} = 20 + 7.2\a_{8} = 20 + 14\a_{8} = 34$

8) Numa coleta feita entre alunos de uma escola, foram arrecad...

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