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kellysouzacristine

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flavioexxipharma · Answer 1 · 2023-07-18T01:24:26-03:00

$oxed{oxed{ L=intlimits^a_b { sqrt{1+[f'(x)]^2} } , dx }}$
a)
$y=3x ^frac{3}{2} \\y'= frac{9x^{ frac{1}{2} }}{2}$

elevando ao quadrado
$(y')^2 =left(frac{9x^{ frac{1}{2} }}{2} ight)^2 = frac{9^2*x^{ frac{1}{2} *2}}{2^2} = frac{81x}{4}$

a integral fica
$L = intlimits^1_0 {left( sqrt{1+ frac{81x}{4} } ight)} , dx$

u= 1+(81/4) x
u = (4+81x)/4

du = (81/4) dx
(4/81) du = dx

$L= frac{4}{81} intlimits^1_0 { sqrt{u} } , dx \\\L= frac{4}{81} left[left( frac{2u^{ frac{3}{2} }}{3} ight) ight]^1_0\\\L= frac{4}{81}* frac{2}{3} left[left( sqrt{u^3} ight) ight]^1_0\\\L= frac{8}{243} left[ u* sqrt{u} ight]^1_0\\\L= frac{8}{243} *left[ frac{4+81x}{4} sqrt{ frac{4+81x}{4} } ight]^1_0$

$L= frac{8}{243} *left[ frac{4+81x}{4} sqrt{ frac{4+81x}{4} } ight]^1_0\\ L= frac{8}{243} *left[ frac{4+81x}{4} * frac{ sqrt{ 4+81x }}{2} ight]^1_0\\L= frac{8}{243}* frac{1}{4}* frac{1}{2}*left[ (4+81x* sqrt{4+81x} ight]^1_0 \\L= frac{1}{243} left[left( 85 sqrt{85} ight) - left(4 sqrt{4} ight) ight]\\\\oxed{oxed{L= frac{1}{243} left[85 sqrt{85}-8 ight]}}$

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