1) Determine o valor de k para que as funções abaixo sejam con...

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Devemos encontrar um valor de tal que a função definida por partes seja contínua em .

Primeiro, observe o gráfico da função . É uma parábola com vértice em e está definida para o ponto .

A função não está definida para o ponto , embora possamos calcular o limite para tendendo a zero. Lembre-se que:

Dada uma certa função , os parâmetros e são responsáveis por uma mudança no gráfico.

O parâmetro é responsável pela amplitude, é responsável pelo período da função, translada o gráfico para a esquerda ou direita e translada o gráfico para cima ou para baixo.

Neste caso, o valor assume o lugar de . Logo, devemos encontrar um ela assume um valor que é comum aos dois, portanto sendo contínua naquele ponto.

O primeiro limite é , que pode ser facilmente calculado, visto que a função está bem definida neste ponto. Logo, sabendo que , temos

Calcule a potência e some os valores

O outro limite será . Podemos multiplicar a fração por , visto que isto não altera seu valor. Ficaremos com:

Observe que podemos reescrever este limite da seguinte forma, utilizando a propriedade :

O limite de uma constante é igual a própria constante, logo

Fazendo uma substituição .  Quando , sabemos que , logo teremos:

De acordo com o Teorema do confronto, , pois quando uma das funções está limitada a um intervalo, como a função seno está limitada a , e elas convergem para o mesmo ponto, seu resultado é igual a 1.

Temos então que

Dessa forma, como queríamos que os limites fossem iguais, fazemos

Substituindo os valores que encontrarmos, podemos afirmar que:

Este é o valor que procurávamos.