04) Determine x para que o ponto P(x, 3) seja eqüidistante dos...

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04) Determine x para que o ponto P(x, 3) seja eqüidistante dos...

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há 2 anos - Matérias - Matemática

04) Determine x para que o ponto P(x, 3) seja
eqüidistante dos pontos A (1, 5) e B (4,2).

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O que é equidistante?

Se o ponto P é equidistante aos pontos A e B, ele está a uma mesma distância desses dois pontos.

Como calcular a distância entre dois pontos?

Utilizando a fórmula:

$largeoxed{d_{ab}=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}}$

Onde, A~(x_2,~y_2) e B~(x_1,~y_1) .

Resolução

Iremos calcular as distâncias Dpa e Dpb.

➢ Relembrando o produto notável:

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

Distância entre P e A.

➯ P (x, 3)

➯ A (1, 5)

$d_{pa}=sqrt{(x-1)^2+(3-5)^2}\d_{pa}=sqrt{x^2-2x+1+(-2)^2}\d_{pa}=sqrt{x^2-2x+1+4}\oxed{d_{pa}=sqrt{x^2-2x+5}}$

Distância entre P e B.

➯ P (x, 3)

➯ B (4, 2)

$d_{pb}=sqrt{(x-4)^2+(3-2)^2}\d_{pb}=sqrt{x^2-8x+16+1^2}\d_{pb}=sqrt{x^2-8x+16+1}\oxed{d_{pb}=sqrt{x^2-8x+17}}$

Qual a resposta?

Dpa = Dpb

$sqrt{x^2-2x+5}=sqrt{x^2-8x+17}\x^2-2x+5=x^2-8x+17\x^2-x^2-2x+8x=17-5\6x=12\x=dfrac{12}{6}\largeoxed{x=2}$

➢ Para que P seja equidistante aos pontos A e B, x deve valer 2.

Prova real

Podemos descobrir se o resultado está correto substituindo x nas equações.

Dpa

$d_{pa}=sqrt{x^2-2x+5}\d_{pa}=sqrt{2^2-2cdot2+5}\d_{pa}=sqrt{4-4+5}\oxed{d_{pa}=sqrt{5}}$

Dpb

$d_{pb}=sqrt{x^2-8x+17}\d_{pb}=sqrt{2^2-8cdot2+17}\d_{pb}=sqrt{4-16+17}\oxed{d_{pb}=sqrt{5}}$

Dpa = Dpb

sqrt{5}=sqrt{5}~~checkmark

☑ Saiba mais em:

1. Distância entre dois pontos:

2. Distância entre ponto e reta:

Espero ter ajudado. Qualquer dúvida pode deixar nos comentários. Bons estudos! ♥️

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