Qual foi a principal consequência da briga entre aquiles e aga...

"Oficialmente" teria sido por causa da posse de Briseis, um espólio de guerra (naquela época, quando um exercito vencia outro, era comum a população vencida torna-se escravos - leia-se sexuais - dos vencedores). A bela Briseis seria um desses espólios de guerra, que cabia a Aquiles e foi tomada por Agamemnon, como forma de Agamemnon afirmar ser superior a Aquiles. 

Isso é a versão "oficial" porque, se você ler a Ilíada (onde esses fatos são narrados), você percebe facilmente ser meramente uma disputa entre líderes. Aquiles era o maior herói em campo, com atuação brilhante. Alguém que todos admiravam e queria seguir. 

Agamemnon, supostamente, seria o general (lider máximo) dos gregos, e via em Aquiles um problema. Sua fama obscurecia a "brilhante" liderança de Agamemnon. Por isso, esse episódio de tomar a bela Briseis de Aquiles. Uma forma de demonstrar publicamente a sujeição do grande Aquiles a liderança de Agamemnon. 

Aquiles já estava "de saco cheio" dessas picuinhas, se valeu desse episódio e rompeu com Agamemnon, retirando seus mirmidões da frente de batalha. Isso quase causou a ruína dos gregos na batalha. ​