Um sólido é formado pela superposição de cone sobre um cilindr...

o volume do sólido em função de r é 19πr³/9.

a partir dos dados fornecidos na questão:

raio da base do cilindro = r  

altura do sólido = 3r (no caso x+y = 3r)  

área lateral do solido = 5 . área da base do cilindro  

volume do sólido em função do raio (r) = ? ?  

primeiramente, devemos encontrar a geratriz, através da fórmula de pitágoras:

g² = √y² + r²

sendo,

al = área lateral

v = volume

logo,

alsolido = 5πr²  

vsolido = vcilindro + vcone  

vsolido = πr².x + πr².y/3  

vsolido = πr² (x+y/3)

sendo,

x +y = 3r  

x = 3r - y

área lateral do sólido = área lateral do cilindro + área lateral do cone  

alsolido = 2πrx + πrg  

5πr² = 2πrx + πrg (corta πe o ² do r)  

5r = 2x + g  

(5-2x)² = g²  

25r² -20rx + 4x² = y²+r²  

25r² - 20r (3r-y) + 4 (3r -y) = y²+ r²  

25r² - 60r² + 20yr + 4 (9r² - 6ry + y²) = y² + r²  

-35r² + 20yr + 36r²-24ry+4y² = y²+r²  

r² -4yr + 4y²-y²-r² = 0  

3y²-4yr =0  

-4yr = -3y²  

r = 3y²/4y  

r = 3y/4  

y = 4r/3

agora que encontramos a altura do sólido, podemos calcular seu volume:

vsolido = πr² (x+y/3)  

vsolido = πr² (3r-y + y/3)  

vsolido = πr² (3r -2y/3)  

vsolido = πr² (3r - 2(4r/3)/3)  

vsolido = πr²(3r -(8r/3)/3)  

vsolido = πr²(3r-8r/9)  

vsolido = πr².(27r/9 - 8r/9)  

vsolido = πr² (19r/9)  

vsolido = 19πr³/9

bons estudos!