Em uma indústria hipotética utilizam – se os conhecimentos de...

Em uma indústria hipotética utilizam – se os conhecimentos de cálculo vetorial para operar um determinado maquinário a fim de se produzir uma mercadoria com base em um determinada matéria-prima. Esse maquinário trabalha com o deslocamento de partículas dessa determinada matéria-prima ao longo de um campo vetorial determinado (F).Ao final desse trajeto no campo vetorial, as partículas colidem-se com um anteparo, onde ficam presas. O acúmulo dessas partículas, de acordo com a movimentação do equipamento, é o que proporciona a elaboração dessa determinada mercadoria a ser vendida pela indústria em questão.
E imprescindível, para os fins operacionais dessa indústria, que se determine o trabalho realizado por uma partícula no campo vetorial. Para isso, é necessário todo o conhecimento estudado até o momento, ou seja, o conhecimento acerca de gradiente, campo vetorial conservativo, curva parametrizada e integral de linha de trabalho.
Por fim, ressalta – se que, por designações operacionais do equipamento, o campo vetorial a ser considerado sempre deve ser conservativo para que o maquinário, e consequentemente todo o sistema produtivo da indústria, funcione de maneira ótima.
Retomou – se nos textos-base e em suas validações os conceitos de gradiente, campo vetorial conservativo, curva parametrizada e integral de linha de trabalho. Esses são os conceitos necessários para se realizar essa proposta de atividade que terá, por sua vez, embasamento na situação-problema apresenta no case.
Considere-se o funcionário dessa empresa, encarregado de tal tarefa, ou seja, determinar o trabalho de uma partícula em um campo vetorial desse maquinário. Para isso, seu superior lhe apresenta duas opções de campo vetoriais a serem escolhidos para se trabalhar:
F1(x, y, z) = -1/2xi -1/2yi +1/4k ou F2(x, y, z) = xi + 2xj + zk

A trajetória feita pela partícula é dada pela curva parametrizada no espaço r(t) = cos(t)i + sem(t)j + tk, sendo que a partícula se move do ponto A (1,0,0) até B (-1,0,4π). A dinâmica de todo esse processo é mostrada na figura abaixo:

O objetivo, portanto, é:
1º) Determine o trabalho que a partícula realiza ao longo do seu deslocamento, em um determinado campo F.
Somando a isso, imagine uma segunda situação, em que um colega de trabalho sugere uma alteração da trajetória da partícula, ou seja, sugere alterar o caminho feito entre A e B nesse campo, dizendo que existem outros caminhos a serem percorrido resultariam em um menor trabalho realizado pela partícula. Portanto, deve-se avaliar, também:

2º) Essa sugestão do colega de trabalho, apontando os aspectos relevantes que devem ser discutidos para que haja ou não uma alteração no caminho entre os pontos A e B realizados pela partícula.