Considere uma casca esférica de raio r e densidade superficial...

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Kauany

Considere uma casca esférica de raio r e densidade superficial de cargas elétricas
σ
. obtenha o potencial elétrico desta casca, a uma distância r > r do centro da casca, em função da densidade superficial de cargas
σ
e da constante de coulomb k.

1 Resposta

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Douglas Falópio

Utilizando Lei de Gauss e definição de potencial eletrico, temos o resultado de:

V=-frac{k.sigma.4pi.R^2}{r}

Explicação:

Primeiramente, sabemso que a carga total desta casca é a densidade vezes a sua área superficial:

Q=sigma.4pi.R^2

E pela lei de Gauss podemos encontrar o campo eletrico fora da casca por:

oint E.da=frac{Q}{epsilon_0}

E.A=frac{sigma.4pi.R^2}{epsilon_0}

E.4pi.r^2=frac{sigma.4pi.R^2}{epsilon_0}

E=frac{sigma.R^2}{epsilon_0.r^2}

Tendo o campo eletríco do lado de fora, podemos encontrar o potencial eletrico pela definição:

V=int_{infty}^{r}E.dl

Então fazendo esta integral de caminho, onde o caminho que escolhemos é simplesmente o radial:

V=int_{infty}^{r}E.dr

V=int_{infty}^{r}frac{sigma.R^2}{epsilon_0.r^2}.dr

V=frac{sigma.R^2}{epsilon_0}.int_{infty}^{r}frac{1}{r^2}.dr

V=frac{sigma.R^2}{epsilon_0}.[frac{-1}{r}]_{infty}^{r}

V=frac{sigma.R^2}{epsilon_0}.[frac{-1}{r}+frac{1}{infty}]

V=frac{sigma.R^2}{epsilon_0}.[frac{-1}{r}+0]

V=-frac{sigma.R^2}{epsilon_0.r}

Para encaixarmos a constante de coulomb k = 1/4πε basta multiplicarmos em cima e em baixo por 4π:

V=-frac{sigma.R^2}{epsilon_0.r}

V=-frac{sigma.4pi.R^2}{4pi.epsilon_0.r}

V=-frac{k.sigma.4pi.R^2}{r}

E este é nosso potencial.

​

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