Pontos críticos são muito importantes quando se tratam de cálculos e engenharia. Por exemplo, qual é a carga máxima que uma estrutura pode resistir? Ou ainda, a quantidade de produtos do tipo A, tipo B e tipo C a serem produzidos para maximizar o lucro, considerando custos de produção e demanda? Já parou para pensar como estimar o pico de uma curva epidemiológica (ponto máximo) e, com isso, criar políticas públicas de contenção?

Sim, tudo isso é aplicação de cálculo derivado. Porém, com funções de uma variável, estávamos interessados em lugares onde a derivada é zero. Esses pontos eram candidatos a máximo ou mínimo de uma função. Além disso, podíamos definir também, com o auxílio das derivadas, o ponto de inflexão. Este marca uma mudança no comportamento da função (concavidade).

Se a primeira derivada não for zero (ou seja, não for um ponto crítico), temos, então, uma direção de crescimento ou decrescimento. Isso depende do comportamento ao mover em alguma direção. De forma simplista, a derivada indica o comportamento da função em um ponto.

Mas, as coisas são um pouquinho diferentes com funções de duas variáveis. Uma vez que só podemos encontrar um mínimo ou máximo para uma função se ambas as derivadas parciais forem zero ao mesmo tempo. Tais pontos se chamam pontos críticos, além dos pontos de máximo ou mínimo, um ponto crítico também poderá ser um ponto de Sela. Calma, vamos entender tudo isso, não precisa arrancar os cabelos!

Pontos Críticos: Como diferir pontos de máximo, mínimo ou de sela?

Primeiramente, os métodos que veremos são para definir o que chamamos de pontos críticos. E assim, quando um ponto crítico é classificado, ele será em ponto de máximo, mínimo e de sela, mas para classificar não será algo tão trivial quanto para função de uma variável (estudo de sinal da derivada segunda).

Então, vamos definir, o máximo ou mínimo de uma função de duas variáveis pode ocorrer na fronteira de uma região ou em seu interior. Inicialmente, analisaremos exemplos em que os máximos e mínimos estão no interior de uma região. Assim, iremos conseguir entender como identificar esses pontos críticos com precisão. Mas, antes de ir para a parte divertida, vamos a algumas definições.

Definições de Pontos Críticos

Definição 1: Considere z= f (x,y) uma função de duas variáveis. Dessa maneira também afirmamos que (x0,y0) ∈ D(f) é um ponto de máximo absoluto ou global da função f(x,y) se: ∀ (x,y) ∈ Df(x,y) → f (x,y≤ f(x0,y0). Assim, neste caso, chamamos f (x0,y0) de valor máximo da função.

Uma imagem vale mais de mil palavras, o que a definição 1 quer dizer está traduzido na figura, temos um ponto em todos os valores da função, dentro do seu domínio será inferior, e isso implica que é um ponto de máximo. Ahhh, mas e seu não conseguir fazer o gráfico? Calma! Vamos chegar lá…conhecimento é de pouquinho em pouquinho!

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