A ideia de um disco δ aparece na definição de limite de uma função de duas variáveis. Nesse contexto, se δ é pequeno, então todos os pontos (x, y) dentro do disco δ estão próximos de (a, b). Essa proximidade é análoga à condição de x estar próximo de a na definição de limite de uma função de uma variável. Portanto, em uma dimensão, expressamos essa proximidade com a restrição:
a − δ < x < a + δ
Enquanto isso, em mais de uma dimensão, usamos o conceito de disco δ.
Limite de uma Função de Duas Variáveis
Seja “f” uma função de duas variáveis, x e y. O limite de f(x, y) conforme (x, y) se aproxima de (a, b) é L, escrito como:
f (x, y) = L
se, para todo ϵ > 0, existe um δ > 0 pequeno o suficiente, tal que para todos os pontos (x, y) em um disco δ ao redor de (a, b), exceto possivelmente para (a, b) em si, o valor de f(x, y) não está a mais de ϵ de distância de L.
Em termos formais, escrevemos: Para qualquer ϵ > 0, existe um número δ > 0 tal que:
|f(x, y) − L| < ϵ
sempre que:
0 < (x − a)² + (y − b)² < δ²
Provar que um limite existe utilizando a definição de limite de uma função de duas variáveis pode ser desafiador. Em vez disso, podemos usar o seguinte teorema, que oferece atalhos para calcular limites de forma mais eficiente. As fórmulas neste teorema são uma extensão das fórmulas presentes no Teorema das Leis de Limite.
Teorema das Leis de Limite (Propriedades dos Limites)
Sejam f(x, y) e g(x, y) definidas para todos (x, y) = (a, b) em uma vizinhança ao redor de (a, b), e assume-se que essa vizinhança esteja completamente contida dentro do domínio de f. Suponha também que L e M sejam números reais tais que:
f (x, y) = Leg (x, y) = M
e que “c” seja uma constante. Então, cada uma das seguintes afirmações é verdadeira:
1) Regra da Constante
c = c
2) Regra da Identidade
x =a e y = b
3) Regra da Soma
(f (x ,y) + g (x, y)) = L + M
4) Regra da Diferença:
(f (x, y) − g (x, y)) = L− M
5) Regra da Multiplicação por uma constante
k . f (x, y) = k . L e k . g (x, y) = k . M
6) Regra do Produto
f (x, y) . g (x, y) = L . M
7) Regra do Quociente
{f (x, y) / g (x, y) = L/M
8) Regra da Potência
[f (x, y)]ⁿ = Lⁿ e [g (x, y)ⁿ] = Mⁿ
9) Regra da Raiz
√f (x, y) = √L e √g (x, y) = √M
Continuidade
A continuidade de uma função de uma variável depende do limite de uma função de uma variável. Em particular, três condições são necessárias para que f(x) seja contínua no ponto x=a:
- f (a) existe.
- f (x) existe.
f (x) = f (a) = L
Essas três condições são igualmente necessárias para a continuidade de uma função de duas variáveis. Assim:
- f (a, b) existe.
- f (x, y) existe.
f (x, y) = f (a, b) = L
Por fim, para determinar se o limite de f(x,y)existe, podemos recorrer ao teorema dos dois caminhos, que afirma:
Se uma função apresenta limites diferentes ao longo de dois caminhos distintos no domínio, ao se aproximar de um ponto (a, b), então o limite não existe.
Em outras palavras, se o limite de f(x, y) depende do caminho seguido para se aproximar de (a, b), isso significa que o limite não é único. Portanto, a função não possui um limite bem definido nesse ponto.
Para que o limite de uma função de duas variáveis exista em um ponto, ele deve ser o mesmo independentemente do caminho escolhido para se aproximar desse ponto.
Certinho? Relembramos juntos a definição de limites de funções de uma variável e aprendemos como esses conceitos se aplicam às funções de duas variáveis. Nos vemos na próxima aula, com alguns exercícios para praticar e consolidar o aprendizado!
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